Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi $I,H,K$ lần lượt là trung điểm các đoạn $QM,QN,PN$ .
Xét tam giác $AQM$ vuông tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên suy ra \(AI = \dfrac{1}{2}QM\).
$IH$ là đường trung bình của tam giác $QMN$ nên \(IH = \dfrac{1}{2}MN\), $IH$ //$MN$ .
Tương tự \(KC = \dfrac{1}{2}NP,HK = \dfrac{1}{2}PQ\), $HK$ //$PQ$ .
Do đó $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} = \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}$
Mặt khác nếu xét các điểm $A,I,H,K,C$ ta có: $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} \ge AC$
Do đó \({P_{MNPQ}} \ge 2AC\) (không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A,I,H,K,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với
$MN$ //$AC$ //$QP$ , $QM$ //$BD$ //$NP$
hay $MNPQ$ là hình bình hành.
Theo định lý Pytago cho tam giác \(ACB\) vuông tại \(A\) ta có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\) \( = {a^2} + {b^2} \Rightarrow AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi $MNPQ$ là $2AC$ \( = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Gọi thêm các điểm $I,H,K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $QM,QN,PN$ .
Bước 2: Ta tính chu vi tứ giác $MNPQ$ :
\( AI = \dfrac{1}{2}QM, \)\(IH= \dfrac{1}{2}MN,\)\(HK = \dfrac{1}{2}PQ,\)\(KC= \dfrac{1}{2}NP\)\( \Rightarrow AI + IH + HK + KC \)\(= \dfrac{1}{2}(QM + MN + PQ + NP) \)\(= \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}\)
Mà \(AI + IH + HK + KC \ge AC\), từ đó suy ra lời giải bài toán.
Bước 3: Dùng định lý Pytago tính \(AC\) theo $a,\,b$ rồi kết luận.
Câu hỏi khác
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 - đề số 1 Toán 8 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 1 - đề số 1 Toán 8 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 - đề số 2 Toán 8 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 1 - đề số 4 Toán 8 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 1 - đề số 3 Toán 8 có lời giải chi tiết
