Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \sqrt 2 a\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc \(\varphi \) tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\,\, \Rightarrow AO \bot BD\).
Mà \(SA \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SO \bot BD\\AO \bot BD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\angle SOA = \varphi \).
Tam giác \(ADO\) vuông cân tại \(O \Rightarrow AO = \dfrac{{AD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).
Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \angle SOA = \dfrac{{SA}}{{AO}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1\) \( \Rightarrow \angle SOA = {45^0}\).
Vậy \(\varphi = {45^ \circ }\).
Hướng dẫn giải:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.