Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $BD$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh $SB,SD$ , gọi $I$ là giao điểm của $ME$ và $BC,J$ là giao điểm của $MF$ và $CD$. Nhận xét gì về ba điểm $I,J,A$?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Giả sử dựng được điểm $E,F$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EF = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel BD\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EF\parallel BD.\)
Do đó các điểm $E,F,A,M$ cùng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), gọi \(K = EF \cap AM.\)
Ta có: \(K \in EF,EF \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right).\)
\(K \in AM,AM \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow K \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right).\)
Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\) với \(O = AC \cap BD \Rightarrow K \in SO.\)
Cách dựng $E,F$: Dựng giao điểm $K$ của $AM$ và $SO$ . Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SB$ tại $E$ và cắt $SD$ tại $F$ .
Do \(\begin{array}{l}I = ME \cap BC\\I \in ME,ME \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow I \in \left( \alpha \right)\\I \in BC,BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right).\end{array}\)
Do đó \(I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)
Tương tự ta cũng có \(J \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)và \(A \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)
Vậy $I,J,A$ cùng thuộc giao tuyến của \(mp\left( \alpha \right)\) và (ABCD).
Vậy $I,J,A$thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$ để xác định thiết diện của hình chóp.
- Các điểm cùng thuộc 2 mặt phẳng thì sẽ thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Do đó chúng thẳng hàng.
