Câu hỏi:
2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(A'\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\overrightarrow {AA'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A'S} \). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(A'\) cắt các cạnh \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(B'\), \(C'\), \(D'\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} - \dfrac{{SC}}{{SC'}}\).

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Gọi \(O\) là giao của \(AC\) và \(BD\). Ta có \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\), \(BD\).

Các đoạn thẳng \(SO\),\(A'C'\), \(B'D'\) đồng quy tại \(I\).

Ta có: \({S_{SA'I}} + {S_{SC'I}} = {S_{SA'C'}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{S_{SA'I}}}}{{{S_{SAC}}}} + \dfrac{{{S_{SC'I}}}}{{{S_{SAC}}}} = \dfrac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{S_{SA'I}}}}{{2{S_{SAO}}}} + \dfrac{{{S_{SC'I}}}}{{2{S_{SCO}}}} = \dfrac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{SA'}}{{2SA}}.\dfrac{{SI}}{{SO}} + \dfrac{{SC'}}{{2SC}}.\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{SI}}{{2SO}}\left( {\dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}} \right) = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}} = 2.\dfrac{{SO}}{{SI}}\).

Tương tự: \(\dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} = 2.\dfrac{{SO}}{{SI}}\)

Suy ra:\(\dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} - \dfrac{{SC}}{{SC'}} = \)\(\dfrac{{SA}}{{SA'}} = \dfrac{3}{2}\).

 

Hướng dẫn giải:

Tính các tỉ số $\dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}},\dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}}$ bằng cách sử dụng tỉ lệ diện tích các tam giác.

Từ đó suy ra giá trị của biểu thức \(T\)

Câu hỏi khác