Cho hàm số \(y = {x^\alpha }\). Nếu \(\alpha  = 1\) thì đồ thị hàm số là:

\(y = \dfrac{1}{{{x^4}}}\)

\(y = {x^{ - \sqrt 2 }}\)

\(y = {e^x}\)

\(y = {x^\pi }\)

Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = R\) với mọi \(\alpha  \in R\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = R\) với mọi \(\alpha  \in Z\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) với mọi \(\alpha  \in Z\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \) không nguyên.

Với \(n \in {N^*}\) thì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nếu \(x > 0\).

Với \(n \in {N^*}\) thì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nếu \(x \ge 0\).

Với \(n \in {N^*}\) thì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nếu \(x < 0\).

Với \(n \in {N^*}\) thì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nếu \(x \ne 0\).

\(y' = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\)

\(y' = \left( {\alpha  - 1} \right){x^{\alpha  - 1}}\)     

\(y' = \alpha {x^\alpha }\)     

\(y' = \alpha {x^\alpha } - 1\)

\(x < 0\)

\(x > 0\)

\(x \ge 0\)         

\(x \in R\)

Hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha  < 0\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha  < 0\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha  \ne 0\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(0 < \alpha  < 1\).