Cho hàm số $y =  - {x^3} + 3m{x^2} - 3m - 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:x + 8y - 74 = 0$.

Ta có $y' =  - 3{x^2} + 6mx =  - 3x\left( {x - 2m} \right);{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.$.

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m \ne 0$.

Khi đó gọi $A\left( {0; - 3m - 1} \right)$ và $B\left( {2m;4{m^3} - 3m - 1} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của $AB$ là điểm $I\left( {m;2{m^3} - 3m - 1} \right)$và$\overrightarrow {AB}  = \left( {2m;4{m^3}} \right) = 2m\left( {1;2{m^2}} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {8; - 1} \right).$

Ycbt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 8\left( {2{m^3} - 3m - 1} \right) - 74 = 0\\8 - 2{m^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.$