Cho hàm số $y = {\log _4}\left| x \right|$ $\left( {x \ne 0} \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tập xác định: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Do đó A sai.

Với $x > 0$, ta có $y = {\log _4}x$ $\Rightarrow$ hàm số đồng biến.

Với $x < 0$, ta có $y = {\log _4}\left( { - x} \right)$ $\Rightarrow y' = \dfrac{{ - 1}}{{\left( { - x} \right)\ln 4}} < 0,{\rm{ }}\forall x < 0$ $\Rightarrow y$ nghịch biến.

Do đó B sai.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow \left( { - x} \right) \in {\rm{D}}\\y\left( { - x} \right) = {\log _4}\left| { - x} \right| = {\log _4}\left| x \right| = y\left( x \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ hàm số $y = {\log _4}\left| x \right|$ chẵn trên tập xác định nên nhận $Oy$ làm trục đối xứng. Do đó C đúng.

Đáp án D sai. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _4}\left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\log _4}\left| x \right| =  - \infty$. Suy ra $x = 0$ là tiệm cận đứng.