Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {f\left( x \right) + m} \right) + 1 = f\left( x \right) + m\) có đúng 3 nghiệm phân biệt trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có: \(f\left( {f\left( x \right) + m} \right) + 1 = f\left( x \right) + m\)

Đặt \(t = f\left( x \right) + m\), phương trình trở thành: \(f\left( t \right) + 1 = t \Leftrightarrow f\left( t \right) = t - 1\,\,\,\left( * \right)\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = t - 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = t - 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\\t = 0\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - m - 2\\f\left( x \right) =  - m\\f\left( x \right) =  - m + 2\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), phương trình \(f\left( {f\left( x \right) + m} \right) + 1 = f\left( x \right) + m\) có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 \le  - m - 2 \le 1\\ - 3 \le  - m \le 1\\ - 3 \le  - m + 2 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le 1\\ - 1 \le m \le 3\\1 \le m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.