Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn [0;5] là đường gấp khúc như hình vẽ. Tính tích phân \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} \)

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), đường thẳng \(y = 0\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1;x =  - 3\) là:

Cho hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) ($a=1$) có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua \(A\left( -1;0 \right)\) , tiếp tuyến d tại A của (C) và hai đường thẳng \(x=0;x=2\) có diện tích bằng \(\dfrac{28}{5}\) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng \(x=-1;x=0\) có diện tích bằng

Cho parabol \(\left( P \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

Tính diện tích giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y={{x}^{2}}-2x\) và \(y=-{{x}^{2}}+4x\).

 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}-4x+4\), trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng (d) đi qua điểm \(A\left( 0;4 \right)\) và có hệ số góc k chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1;\,\,x = 3\)?