Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trong hình sau:
Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 1 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta có \(t' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x = - 1 \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).
Ta có BBT:
Suy ra \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 2;2} \right)\).
Khi đó phương trình trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = - 1\).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = - 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình \(f\left( t \right) = - 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = b \in \left( { - 2;0} \right)\\t = c \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).
Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^3} - 3x\) ta có:
+ Phương trình \(t = b \in \left( { - 2;0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình \(t = c \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = {x^3} - 3x\), lập BBT của hàm số \(t\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
- Thay \(t = {x^3} - 3x\) vào phương trình đề bài cho, giải phương trình tìm \(t\).
- Từ các nghiệm \(t\) tìm được sử dụng phương pháp tương giao để tìm số nghiệm \(x\).
Câu hỏi khác
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = 9{x^2} - 1.\) Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) để \(f\left( x \right) < 0\) là
\(x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right).\)