Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 2022\) (với \(m\) là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 2022\) \( \Rightarrow y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4m + 9\).
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4m + 9$$\ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m + 9} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 8 \le 0\\ \Leftrightarrow - 2 \le m \le 4\end{array}\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
Hướng dẫn giải:
- Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Sử dụng: \(a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).