Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right),\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) - m} \right|\) có nhiều điểm cực trị nhất?

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\\x = 5\end{array} \right.\) .

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + 1} \right)\).

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 1 =  - 2\\{x^2} + 1 = 2\\{x^2} + 1 = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\\x =  \pm 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có:

\(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right),\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right)dx}\)\(= \int {\left( {{x^3} - 5{x^2} - 4x + 20} \right)dx} \)\(= \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{5}{3}{x^3} - 2{x^2} + 20x + C\)

Mà  \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow C =  - \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{3} + 2 - 20 =  - \dfrac{{199}}{{12}}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{5}{3}{x^3} - 2{x^2} + 20x - \dfrac{{199}}{{12}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = \dfrac{{73}}{{12}}\\f\left( 5 \right) =  - \dfrac{{56}}{3}\end{array} \right.\).

Bảng trên trở thành:

Để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) - m} \right|\) có nhiều điểm cực trị nhất thì đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) cắt đường thẳng \(y = m\) nhiều điểm nhất \( \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{{73}}{{12}}\) (khi đó, hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) - m} \right|\) có tổng cộng \(5 + 6 = 11\) cực trị).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;..;6} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn.