Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn [- 1;4] như hình vẽ dưới đây. Tính tích phân \(I = \int_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)

Cách 1:

Bước 1: Tách thành tích phân trên các đoạn [-1;2]; [2;4]

Gọi A, B, C, D, E, F, G lần lượt là các điểm như hình vẽ.

Xét \(I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \) \( = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \)

\( = {S_{ABCD}} - {S_{DEFG}}\)

Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tính diện tích từng đoạn.

Ta có:

\({S_{ABCD}} = \dfrac{{OB.\left( {BC + AD} \right)}}{2} = \dfrac{{2.\left( {1 + 3} \right)}}{2} = 4\)

\({S_{DEFG}} = \dfrac{{FG\left( {EF + DG} \right)}}{2} = \dfrac{{1.\left( {1 + 2} \right)}}{2} = \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow I = 4 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\)

Cách 2:

Từ hình vẽ ta thấy:

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 2khi - 1 \le x \le 0\\2khi0 \le x \le 1\\ - 2x + 4khi1 \le x \le 2\\ - x + 2khi2 \le x \le 3\\ - 1khi3 \le x \le 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)

\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \)

\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2x + 2} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {2dx}  + \int\limits_1^2 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} \)\( + \int\limits_2^3 {\left( { - x + 2} \right)dx}  + \int\limits_3^4 {\left( { - 1} \right)dx} \)

\( = 1 + 2 + 1 - \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}\)