Cho hàm số \(f(x) = {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\) . Xét các khẳng định sau:

Khẳng định 1: \(f(x) > 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\)

Khẳng định 2: \(f(x) > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\).

Khẳng định 3: \(f(x) < 3 - \sqrt 2  \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\)

Khẳng định 4:\(f(x) < 3 + \sqrt 2  \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} + 1}} < {(3 - \sqrt 2 )^{1 - {x^2}}} + 7\)

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?

Cơ số $3 - \sqrt 2  > 1$

Ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} >  - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0$ suy ra khẳng định 1 đúng.

Ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} >  - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0 $

$\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > - 1 \hfill \\
x \ne 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ suy ra khẳng định 2 sai.

Ta có

$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 3 - \sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 - \sqrt 2  \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{{x^3}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{ - {x^2}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} < 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2} - 1}} \\ \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{1}{{3 - \sqrt 2 }}} \right)^{{x^2} + 1}}  \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\end{array}$

suy ra khẳng định 3 đúng.

Ta có

$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 3 + \sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}}\left( {3 - \sqrt 2 } \right) - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\left( {3 - \sqrt 2 } \right) < \left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} + 1}} < {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}} + 7\end{array}$

Suy ra khẳng định 4 đúng.

Vậy có $3$ khẳng định đúng.