Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 6} - a}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\{x^3} - \left( {2b + 1} \right)x\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\) trong đó $a, b$ là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại $x = 3$. Số nhỏ hơn trong hai số $a$ và $b$ là:
Trả lời bởi giáo viên
\(f\left( 3 \right) = 27 - 3\left( {2b + 1} \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 6} - a\).
Ta có \(g\left( 3 \right) = 3 - a\)
Nếu \(a = 3\) thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 6} - 3}}{{\sqrt {x + 1} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6} + 3} \right)}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
Để hàm số liên tục tại $x = 3$ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 27 - 3\left( {2b + 1} \right) = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow b = \dfrac{{35}}{9}\)
Nếu \(a \ne 3 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) \ne 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1} - 2}} = \infty \Rightarrow \)Hàm số không thể liên tục tại $x = 3.$
Vậy \(a = 3,b = \dfrac{{35}}{9}\)
Hướng dẫn giải:
Xét các trường hợp của $a$ và tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) , để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)