Cho điểm $A\left( {1;\,\,1} \right)$ và hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,y = x - 1;\,\,\,\left( {{d_2}} \right):\,\,\,y = 4x - 2$. Viết  phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A$ và cắt các đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ tạo thành một tam giác vuông.

Thấy rằng hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ không vuông góc với nhau nên đường thẳng $(d)$ cần xác đinh phải vuông góc với một trong hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$.

Gọi phương trình đường thẳng $(d)$ có dạng $y = ax + b\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

TH1: Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $\left( {{d_1}} \right)$ suy ra $a.1 =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 1$ hay $(d)$ có dạng $y = – x + b .$

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;\,\,1} \right)$ vào $(d)$ suy ra $b = 2.$ Khi đó, $(d): y = – x + 2.$

TH2: Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $\left( {{d_2}} \right)$ suy ra $a =  - \dfrac{1}{4}$ hay $(d) $ có dạng $y =  - \dfrac{1}{4}x + b$

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;\,\,1} \right)$ vào $(d)$  suy ra $b = \dfrac{5}{4}.$ Khi đó,  $\left( d \right):\,\,\,y =  - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}$

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn $\left( d \right):\,\,\,y =  - x + 2;\,\,\left( d \right):\,\,\,y =  - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}.$