Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\). Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \({x_{n + 1}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}}.\)
Xét hiệu
\(\begin{array}{l}{x_{n + 1}} - {x_n} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}} - \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = \dfrac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{a{n^2} + 2an + an + 2a + 4n + 8 - a{n^2} - 3an - 4n - 12}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2a - 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)
Để \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \({x_{n + 1}} - {x_n} > 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow 2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2.\)
Hướng dẫn giải:
Xét hiệu \(A={x_{n + 1}} - {x_n} \) và kết luận:
+ Nếu $A>0$ thì dãy tăng.
+ Nếu $A<0$ thì dãy giảm.
