Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\)  khác 1 thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 2{m^2} + 9{M^2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.lo{g_b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\\P = 1 + {\log _a}b - 1 - {\log _b}c\\P = x - y \Rightarrow y = x - P\end{array}\)

Thay \(x,\,\,y\) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Để tồn tại các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\end{array}\) 

Vậy \(m =  - 1,\,\,M = \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} = 27\).