Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\dfrac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}b + {\log _b}{c^2}\) bằng:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\dfrac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\\ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + {\log _b}c.\left( {2{{\log }_b}c - 1} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\\ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + 2\log _b^2c - {\log _b}c + 9{\log _a}b.{\log _b}c = 4{\log _a}b\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {\log _a}b > {\log _a}1 = 0\\y = {\log _b}c > {\log _b}1 = 0\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,a,b,c > 1} \right)\).

Khi đó phương trình (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4{x^2} + 2{y^2} - y + 9xy = 4x\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + xy + 8xy + 2{y^2} - y - 4x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {4x + y} \right) + 2y\left( {4x + y} \right) - \left( {4x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4x + y} \right)\left( {x + 2y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + y = 0\\x + 2y - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(y =  - 4x\) loại do \(x,\,\,y > 0\).

TH2: \(x + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 1\), khi đó ta có: \({\log _a}b + {\log _b}{c^2} = x + 2y = 1\).