Cho biết $\tan \alpha  = \dfrac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức: $M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha  - 25{{\cos }^3}\alpha }}$

Vì  $\tan \alpha  = \dfrac{2}{3}$ nên \(\cos \alpha  \ne 0.\)

Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos^3 \alpha$  ta được

$M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha  - 25{{\cos }^3}\alpha }}$\( = \dfrac{{\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \dfrac{{{{\tan }^3}\alpha  + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha  - 25}}\)

Thay $\tan \alpha  = \dfrac{2}{3}$ ta được \(M = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27.{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \dfrac{{ - 89}}{{459}}.\)