Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\dfrac{c}{b} - 2{\log _b}\dfrac{c}{b} - 3.\) Gọi \(M,{\rm{ }}m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = {\log _a}b - {\log _b}c.\) Giá trị của biểu thức \(S = m - 3M\) bằng

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\dfrac{c}{b} - 2{\log _b}\dfrac{c}{b} - 3\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}c - {\log _a}b - 2{\log _b}c - 1\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _b}c.{\log _a}b - {\log _a}b - 2{\log _b}c - 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = x \Rightarrow {\log _b}c = x - P\).

Phương trình (*) \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = \left( {x - P} \right)x - x - 2\left( {x - P} \right) - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 3x + 2P - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) =  - 3{P^2} + 2P + 5\)

Phương trình (**) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\M = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(S = m - 3M =  - 1 - 3.\dfrac{5}{3} =  - 6\).