Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1.} \) Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx.} \)
Trả lời bởi giáo viên
Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow dt = 2\cos 2xdx\) \( \Rightarrow - \dfrac{1}{2}dt = \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx} \)\( = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \dfrac{1}{2}.1 = - \dfrac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến \(t = \sin 2x\) và đổi cận rồi tính tích phân cần tính.
Câu hỏi khác
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = 9{x^2} - 1.\) Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) để \(f\left( x \right) < 0\) là
\(x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right).\)