Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương $n$ thì:

Khi $n = 1$ ta có \(\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} = 1 < 2 \Rightarrow \) Loại đáp án A, B, D.

Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức đúng với $n = 1$ .

Giả sử bất đẳng thức đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là

\(1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt k }} < 2\sqrt k \) , ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Ta có: \(VT = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt k }} + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k  + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)

Giả sử:

$2\sqrt k  + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1}  $ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1}  - 2\sqrt k  = \dfrac{2}{{\sqrt {k + 1}  + \sqrt k }}$ $ \Leftrightarrow \sqrt {k + 1}  > \dfrac{{\sqrt {k + 1} }}{2} + \dfrac{{\sqrt k }}{2} $ $\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {k + 1} }}{2} > \dfrac{{\sqrt k }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {k + 1}  > \sqrt k $ (luôn đúng)

Do đó

\(2\sqrt k  + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \) \( \Rightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Do đó bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$.

Vậy  \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \) đúng với mọi số nguyên dương $n$.