Xét ${z_1},{z_2}$ là các số phức thay đổi thoả mãn $\left| {\overline {{z_1}}  - 3 + 2i} \right| = \left| {\overline {{z_2}}  - 3 + 2i} \right| = 2$ và $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 3$. Gọi $m, n$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z_1} + {z_2} - 3 - 5i} \right|$. Khi đó $m + 2n$ bằng

Gọi $A, B$ và $C$ lần lượt là điểm biểu diễn cho ${z_1},{z_2}$ và $\dfrac{3}{2} + \dfrac{{5i}}{2}$.

Ta có

$\begin{array}{l}\left| {\overline {{z_1}}  - 3 + 2i} \right| = \left| {\overline {{z_2}}  - 3 + 2i} \right| = 2\\\Leftrightarrow \left| {\overline {{z_1}}-\overline {  (3 + 2i)} } \right| = \left| {\overline {{z_2}} -\overline {(3 + 2i)} } \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\overline {{z_1} - (3 + 2i)} } \right| = \left| {\overline {{z_2} - (3 + 2i)} } \right| = 2\end{array}$

$\Leftrightarrow \left| {{z_1} - (3 + 2i)} \right| = \left| {{z_2} - (3 + 2i)} \right| = 2$

Do đó $A, B$ thuộc đường tròn tâm $I(3;2)$, bán kính $R = 2$, và từ $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 3$ ta được $AB = 2\sqrt 3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $A B$ thì $IM = \sqrt {I{A^2} - M{A^2}}  = \sqrt {{2^2} - 3}  = 1$ nên $M$ thuộc đường tròn tâm $I$, bán kính $r = 1$.

Khi đó $P = \left| {{z_1} + {z_2} - 3 - 5i} \right|$ $= 2\left| {\dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{2} - \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{{5i}}{2}} \right)} \right| = 2MC$.

$P$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng $m = 2(IC + r) = \sqrt {10}  + 2$ và $n =$ $2(IC - r) = \sqrt {10}  - 2$.

Suy ra $m + 2n = 3\sqrt {10}  - 2.$