Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}  = 30$ (theo bunhiacopxki)

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$