Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(AD = 2AB\), đường thẳng \(AC\) có phương trình \(x + 2y + 2 = 0\), \(D\left( {1;\,1} \right)\) và \(A\left( {a;\,b} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,a > 0} \right)\). Tính \(a + b\).
Trả lời bởi giáo viên
Cách 1: Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)
Do \(a > 0\) nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\) \(\,\left( * \right)\)
Khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2b + 3;1 - b} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AD\).
\(\vec u = \left( {2; - 1} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\).
Trên hình vẽ, \(\tan \alpha = \dfrac{{DC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\) \(\left( 1 \right)\)
Lại có \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b = - 3\) (do \(\left( * \right)\)) \( \Rightarrow a = 4\).
Khi đó \(A\left( {4; - 3} \right)\), suy ra \(a + b = 1\).
Cách 2: Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)
Do \(a > 0\) nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\)\(\,\left( * \right)\), khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).
Vì \(C \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(C\left( { - 2c - 2;c} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {3 + 2b; - 1 - b} \right)\); \(\overrightarrow {CD} = \left( {3 + 2c;1 - c} \right)\).
Chọn \(\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot \overrightarrow {CD} \\\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\end{array} \right. \Rightarrow \vec u = \left( {c - 1;3 + 2c} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot CD\\AB = 2CD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} = 2\vec u\\\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\end{array} \right.\)
* Với \(\overrightarrow {AD} = 2\vec u\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = 2c - 2\\1 - b = 6 + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (t/m)
* Với \(\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = - 2c + 2\\1 - b = - 6 - 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) (không t/m)
Vậy \(A\left( {4; - 3} \right)\), suy ra \(a + b = 1\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ của \(A\) phụ thuộc vào phương trình đường thẳng \(AC\).
- Sử dụng tính chất góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {AD}, \overrightarrow {AC} \) tìm tọa độ của \(A\).