Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu của C trên đường thẳng AB là \(H\left( { - 1; - 1} \right)\), đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C.

Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác AD: x – y + 2 = 0 \( \Rightarrow \) đường thẳng HK có phương trình x + y + 2 = 0. Tọa độ giao điểm của HK với d là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( { - 2;0} \right)\) là trung điểm của HK

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_K} = 2{x_M} - {x_H} =  - 4 + 1 =  - 3\\{y_K} = 2{y_M} - {y_H} = 0 + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 3;1} \right)\)

Đường thẳng \(AC \bot BE:4x + 3y - 1 = 0\)  và đi qua K nên AC có phương trình \(3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\)

Đỉnh \(A = AC \cap AD \Rightarrow \) Tọa độ của A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\3x - 4y + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;7} \right)\)

Đường thẳng CH đi qua \(H\left( { - 1; - 1} \right)\) và có vector pháp tuyến \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH}  = \dfrac{1}{2}\left( {6;8} \right) = \left( {3;4} \right)\) , do đó có phương trình \(3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0\)

Đỉnh \(C = CH \cap AC \Rightarrow \) Tọa độ của C là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y + 7 = 0\\3x - 4y + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{10}}{3}\\y = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \dfrac{{10}}{3};\dfrac{3}{4}} \right)\)