Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và tạo với chiều trục Ox một góc bằng 60⁰ có phương trình là:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow i } \right)} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.1 + b.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} \\ = \dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = c{\rm{os6}}{{\rm{0}}^0} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| a \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 4{a^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\sqrt 3 \\b =  - \sqrt 3 a\end{array} \right.\end{array}$

TH1: \(b = \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( { - \sqrt 3 a;a} \right) =  - a\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right) \)

\(\Rightarrow \) Đường thẳng d nhận \(\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: \(\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 3 x - y = 0\)

TH2: \(b =  - \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( {\sqrt 3 a;a} \right) \) \(= a\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\)

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) nhận \(\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: \(\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \sqrt 3 x + y - 2\sqrt 3  = 0\)

Dựa vào các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn.