Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm \(A\left( {1;0} \right)\), \(B\left( {0;5} \right)\) và \(C\left( { - 3; - 5} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là điểm thỏa mãn: \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
ta có: \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{9}{5}\\b = - 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{9}{5}; - 6} \right)\)
Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) \( = \left| {3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} - 5\overrightarrow {IM} } \right|\) \( = \left| {\overrightarrow 0 - 5\overrightarrow {IM} } \right|\) \( = 5IM\)
Do đó: \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IM\) ngắn nhất. Suy ra \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\left( { - \dfrac{9}{5}; - 6} \right)\) trên \(Oy\) \( \Rightarrow M\left( {0; - 6} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
- Vị trí điểm \(M\) chính là hình chiếu của \(I\) trên \(Oy\).