Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ tại $B$ và $C$ lấy điểm $D,\,\,E$ cùng phía so với $\left( P \right)$ sao cho $BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $CE = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ADE} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Vẽ $BC \cap DE = M$$ \Rightarrow \left( {ADE} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM$.
Ta có $BD$//$CE \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{CE}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{1}{2} $$\Rightarrow BM = BC = BA$.
Suy ra $\Delta AMC$ vuông tại $A$ $ \Rightarrow AM \bot AC$.
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot AC\\AM \bot EC\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {ACE} \right) \Rightarrow AM \bot AE \Rightarrow \Delta AME$ vuông tại $A$.
Mặt khác ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ADE} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\\\left( {ADE} \right) \supset AE \bot AM\\\left( {ABC} \right) \supset AC \bot AM\end{array} \right. $$\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ADE} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE;AC} \right)} = \widehat {EAC}$.
Xét $\Delta AEC$ vuông tại C, có $\tan \widehat {EAC} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 $$ \Rightarrow \widehat {EAC} = {60^0}$.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
