Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$ và điểm $C$ thuộc nửa đường tròn đó sao cho $AC = R$. Trên đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB,\,\,SC$. Độ dài cạnh $SA$ tính theo $R$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AK$.
Do đó $AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot KH$.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAC} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right.\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH;HK} \right)} = \widehat {AHK} = {60^0}\end{array}\)
Xét tam giác AHK vuông tại K có:
$AK = AH.\sin {60^0} \Leftrightarrow A{K^2} = \dfrac{3}{4}A{H^2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}}$.
Đặt SA = a, áp dụng hệ thức lượng, ta được
- $\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}}$
- $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{R^2}}}$
Suy ra $\dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}}} \right) = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{R^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{{{R^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{{{R^2}}}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{R}{{\sqrt 2 }}$.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
