Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{y + 3}}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{12}}\). Hỏi có bao nhiêu mặt cầu đi qua điểm \(A\left( { - 3;5;12} \right)\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \)?
Trả lời bởi giáo viên
Ta thấy : \(A\left( { - 3;5;12} \right) \in \left( P \right)\) nên \(A\) là tiếp điểm của \(\left( P \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\)\( \Rightarrow \)\(IA \bot \left( P \right)\).
Đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) nên \(IA:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 5 + 2t\\z = 12 - t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3 + 2t;5 + 2t;12 - t} \right)\).
Có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2t; - 2t;t} \right) \Rightarrow IA = \left| {3t} \right|\).
\(\Delta \) đi qua \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5;12} \right)\) làm VTCP nên
\(d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {29t + 41} \right)}^2} + {{\left( {21t - 27} \right)}^2} + {{\left( {16t - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {178} }}\)
Mà \(IA = d\left( {I,\Delta } \right) \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{{\left( {29t + 41} \right)}^2} + {{\left( {21t - 27} \right)}^2} + {{\left( {16t - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {178} }} = 3\left| t \right|\)
\( \Leftrightarrow 1538{t^2} + 1212t + 2411 = 1602{t^2} \Leftrightarrow 64{t^2} - 1212t - 2411 = 0\).
Phương trình trên có hai nghiệm \(t\) phân biệt nên có hai điểm \(I\) và suy ra có \(2\) mặt cầu.
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) \( \Leftrightarrow IA = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\Delta } \right)\).