Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}}}{{{x^2} + 3x + 2}}\)  có bao nhiêu đường tiệm cận?

Điều kiện xác định:\(x \ne  - 1;x \ne  - 2\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{{\left( {x + 2} \right)}} =  - \sqrt[3]{2} < 0\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) và

\(\left( {x + 1} \right) < 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  + \infty \)

\( \Rightarrow \) Hàm số có đường tiệm cận đứng là: \(x =  - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{{\left( {x + 1} \right)}} =   \sqrt[3]{3} > 0\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \left( {x + 2} \right) = 0\) và

\(\left( {x + 2} \right) < 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \) Hàm số có đường tiệm cận đứng là: \(x =  - 2\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{{{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\sqrt[3]{{\dfrac{x}{{{x^6}}} - \dfrac{1}{{{x^6}}}}}}}{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0\)

\( \Rightarrow \)Hàm số có đường tiệm cận ngang là: \(y = 0\)

Vậy hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.