Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\) và cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(A\), \(B\) sao cho \(AB\) ngắn nhất. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là

\(\left\{ \begin{array}{l}A = \Delta  \cap {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + 2a;a; - 2 - a} \right)\\B = \Delta  \cap {d_2} \Rightarrow B\left( {1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

\(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;1;1} \right)\).

\(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\vec n = 0 \Leftrightarrow b = a - 1 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - a - 1;2a - 5; - a + 6} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = 6{a^2} - 30a + 62 \ge 6{\left( {a - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{49}}{2} \ge \dfrac{{49}}{2}\).

\(A{B_{\min }} = \dfrac{{7\sqrt 2 }}{2}\) khi \(a = \dfrac{5}{2} \Rightarrow A\left( {6;\dfrac{5}{2};\dfrac{{ - 9}}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \dfrac{7}{2}\left( { - 1;0;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \dfrac{5}{2}\\z = \dfrac{{ - 9}}{2} + t.\end{array} \right.\).