Trong không gian Oxyz cho điểm \(I(2;0;1)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và tiếp xúc với d là

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho \(d:\dfrac{{x - 4{m^2}}}{2} = \dfrac{{y + 2m}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\) và \(A\left( { - 1;2;1} \right),B\left( {1; - 2;0} \right)\). Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên d. biết khối tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất. khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn\(\int {f\left( {\dfrac{1}{2}x} \right)dx}  = {x^2} + 4x + C\) và \(\int {f\left( {x - 2} \right)dx}  = a{x^2} + bx + C,a,b \in \mathbb{R}\). Tổng \(2a + b\) bằng

Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 6z + 25 = 0\). Giá trị của biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) là

Cho lăng trụ tam giác đếu ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi (T) là hình trụ nội tiếp lăng trụ và M là tâm của mặt bên BCC’B’. Mặt phẳng (P) chứa AM cắt hình trụ (T) như hình vẽ.

Thể tích khối hình còn lại (phần tô đậm) của khối trụ (T) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{{\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}^2}} \right) + \left( {{x^4} + 3{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 3} \right)\) là

Tích tất cả các nghiệm của phương trình \(2{\left( {{{\log }_4}x} \right)^2} - 3{\log _4}x - 2 = 0\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} + 2x + m} \right) - 2{\log _2}\left( {2x - 1} \right) > 0\) chứa đúng hai số nguyên?