Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{{\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}^2}} \right) + \left( {{x^4} + 3{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 3} \right)\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đặt \({\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)^2} = t\)\( \Rightarrow \left( {{x^4} + 3{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 3} \right) = t - 1\)
\(y = f\left( t \right) + t - 1\)
\(\begin{array}{l}y = f\left( {{{\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}^2}} \right) + \left( {{x^4} + 3{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 3} \right)\\y' = t'\left( x \right)\left[ {f'\left( t \right) + 1} \right]\\ = 2.\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)\left( {4{x^3} + 6x} \right)\left[ {f'\left( t \right) + 1} \right]\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( t \right) + 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - 1\)
Ta lại có: \({x^4} + 3{x^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow t \ge 4\)
Từ bảng biến thiên, đường thẳng y=-1 cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) tại 1 điểm duy nhất
\(\begin{array}{l}t = a > 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)^2} = a > 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^4} + 3{x^2} + 2 = \sqrt a > 2\left( 1 \right)\\{x^4} + 3{x^2} + 2 = - \sqrt a < - 2\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^4} + 3{x^2} + 2 - \sqrt a = 0\\{x^2} = u\end{array}\)
Khi đó phương trình trên trở thành
\(\begin{array}{l}{u^2} + 3u + 2 - \sqrt a = 0\left( 2 \right)\\2 - \sqrt a < 0\end{array}\)
Nên phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu khác 0.
Hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 3 cực trị.
Hướng dẫn giải:
- Đặt \({\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)^2} = t\)
- Tính y’=0
- Tìm số cực trị