Trong không gian \(Oxyz,\)  cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}},\) tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\)  và\(\left( \beta  \right):2x - 3y - 6z - 2 = 0\) . Gọi \({R_1};{R_2}\left( {{R_1} > {R_2}} \right)\)  là bán kính của hai mặt cầu đó. Tỉ số \(\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\)  bằng

Đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\)

Vì tâm mặt cầu thuộc đường thẳng \(d\) nên ta gọi \(I\left( {2t;1 + t; - 2 - t} \right)\) là tâm mặt cầu.

Lại có mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)\) nên ta có \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {I;\left( \beta  \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2t + 2\left( {1 + t} \right) - 2\left( { - 2 - t} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {4t - 3\left( {1 + t} \right) - 6\left( { - 2 - t} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {6t + 7} \right|}}{3} = \dfrac{{\left| {7t + 7} \right|}}{7} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{6t + 7}}{3} = t + 1\\\dfrac{{6t + 7}}{3} =  - t - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \dfrac{8}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\\t =  - \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow I\left( { - \dfrac{{20}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}; - \dfrac{8}{9}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \(I\left( { - \dfrac{8}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow \) bán kính mặt cầu \({R_1} = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{8}{3} + 2.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) - 2.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{3}\)

+ Với \(I\left( { - \dfrac{{20}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}; - \dfrac{8}{9}} \right) \Rightarrow \) bán kính mặt cầu \({R_2} = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{{20}}{9} + 2.\left( { - \dfrac{1}{9}} \right) - 2.\left( { - \dfrac{8}{9}} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{9}\)

Tỉ số \(\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{\dfrac{1}{9}}} = 3\)