Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 5}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{3} = \dfrac{z}{1}\). Viết phương trình mặt cầu \((S)\) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với cả hai đường thẳng đã cho.

Các VTCP của hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 1; - 2} \right);\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3;1} \right)\)

Gọi MN là đoạn vuông góc chung của \({d_1};{d_2}\) với \(M \in {d_1};N \in {d_2}\)

Ta có: \(M\left( {4 + 3t;1 - t; - 5 - 2t} \right);\)\(N\left( {2 + t'; - 3 + 3t';t'} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {t' - 3t - 2;3t' + t - 4;t' + 2t + 5} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {t' - 3t - 2} \right).3 + \left( {3t' + t - 4} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {t' + 2t + 5} \right).\left( { - 2} \right) = 0\\\left( {t' - 3t - 2} \right).1 + \left( {3t' + t - 4} \right).3 + \left( {t' + 2t + 5} \right).1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2t' - 14t = 12\\11t' + 2t = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow M\left( {1;2; - 3} \right),N\left( {3;0;1} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( {2; - 2; - 4} \right)\)

Phương trình mặt cầu \((S)\) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với cả hai đường thẳng đã cho có tâm I là trung điểm của MN

=> \(I\left( {2;1; - 1} \right);R = \dfrac{{MN}}{2} = \sqrt 6 \)

=> Mặt phẳng cần tìm là \((S):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 6\)