Trong không gian $O x y z$, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y =  - 3}\\{z = 5 + 4t}\end{array}} \right.\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u(1;2; - 2)\). Tìm phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \).

Bước 1: Tìm giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) và vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\)

Ta có điểm \(A(1; - 3;5)\) thuộc đường thẳng \(d\), nên \(A(1; - 3;5)\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec v( - 3;0; - 4)\).

Bước 2: Xét \(\overrightarrow {{u_1}}  = \dfrac{1}{{|\vec u|}} \cdot \vec u\) và \(\overrightarrow {{v_1}}  = \dfrac{1}{{|\vec v|}} \cdot \vec v\)

Ta xét \(\overrightarrow {{u_1}}  = \dfrac{1}{{|\vec u|}} \cdot \vec u = \dfrac{1}{3}(1;2; - 2)\)\( = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right);\)\(\overrightarrow {{v_1}}  = \dfrac{1}{{|\vec v|}} \cdot \vec v = \dfrac{1}{5}( - 3;0; - 4)\)\( = \left( { - \dfrac{3}{5};0; - \dfrac{4}{5}} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{v_1}}  > 0\), nên góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{v_1}} \) là góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \).

Bước 3: \(\vec w = \overrightarrow {{u_1}}  + \overrightarrow {{v_1}} \)là vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \). Tìm phân giác.

Ta có \(\vec w = \overrightarrow {{u_1}}  + \overrightarrow {{v_1}}  = \left( { - \dfrac{4}{{15}};\dfrac{{10}}{{15}}; - \dfrac{{22}}{{15}}} \right)\)\( =  - \dfrac{2}{{15}}(2; - 5;11)\) là vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) hay đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\)

Do đó, phương trình phân giác cần tìm là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 3 - 5t}\\{z = 5 + 11t}\end{array}} \right.\)

Thay t=t’-1 thì được phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t'}\\{y = 2 - 5t'}\\{z =  - 6 + 11t'}\end{array}} \right.\)