Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có bài toán “Trăm trâu trăm cỏ” sau đây:
Trăm trâu trăm cỏ,
Trâu đứng ăn năm,
Trâu nằm ăn ba,
Lụ khụ trâu già,
Ba con một bó.
Hỏi có bao nhiêu trâm nằm, biết số con trâu nằm là số lẻ?
Trả lời bởi giáo viên
Bước 1:
Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là \(x,y,z\) (con), \(\left( {0 < x,y,z < 100;x,y,z \in \mathbb{N}} \right)\), (\(y\) là số lẻ).
Bước 2:
Theo đề bài,
Tổng số con trâu là 100 nên ta có: \(x + y + z = 100\left( 1 \right)\).
Trâu đứng ăn năm tức là mỗi con trâu đứng ăn 5 bó
Trâu nằm ăn ba tức là mỗi con trâu nằm ăn 3 bó.
Trâu già, ba con 1 bó tức là cứ 3 con bò thì ăn hết 1 bó.
=> Ta có phương trình tương ứng về tổng số bó cỏ là \(5x + 3y + \dfrac{1}{3}z = 100\).
Từ (1), (2) ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\5x + 3y + \dfrac{1}{3}z = 100\end{array} \right.\)
Bước 3:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\15x + 9y + z = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\14x + 8y = 200\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\7x + 4y = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\y = \dfrac{{100 - 7z}}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có \(y = \dfrac{{100 - 7x}}{4} = 25 - \dfrac{{7x}}{4}\) là số lẻ nên \(x \vdots 4,\dfrac{{7x}}{4} < 25\) và \(\dfrac{{7x}}{4}\) chẵn.
\(\dfrac{{7x}}{4} < 25 \Leftrightarrow x < \dfrac{{100}}{7} \Rightarrow x \le 14\)
Do \(x \vdots 4 \Rightarrow x \in \left\{ {4;8;12} \right\}\)
Với \(x = 4 \Rightarrow \dfrac{{7x}}{4} = 7\)(KTM).
Với \(x = 8\)\( \Rightarrow \dfrac{{7x}}{4} = 14\)(TM)
=> \(y = 25 - 14 = 11\)
Với \(x = 12 \Rightarrow \dfrac{{7x}}{4} = 21\)(KTM).
Vậy số trâu nằm là 11 con.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là \(x,y,z\) (con), \(\left( {0 < x,y,z < 100;x,y,z \in \mathbb{N}} \right)\).
Bước 2: Sử dụng các giả thiết của bài toán và điều kiện của \(x,y,z\) để lập hệ.
Bước 3: Giải hệ và kết luận.
Câu hỏi khác
- Bài tập phần bài toán đếm thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần giải bài toán bằng cách lập phương trình thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần biến cố và xác suất của biến cố thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thi ĐGNL ĐHQG HCM
- Bài tập phần bài toán tối ưu thi ĐGNL ĐHQG HCM
