Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$ ta có:

$\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 4} \right)$ và bán kính $r = 2$

Từ hình vẽ ta thấy số phức \({z_0}\) có mô đun nhỏ nhất nếu \({z_0}\) có điểm biểu diễn là \(M\).

Ta có: $\overrightarrow {OI}  = ( - 3; - 4)$  nên đường thẳng đi qua \(O\) và \(I\) là $OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 4t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3t;4t} \right)$

Mặt khác $M \in \left( C \right)$ nên: ${\left( {3t + 3} \right)^2} + {\left( {4t + 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 3}}{5}\\t = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array} \right.$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{{ - 21}}{5};\dfrac{{ - 28}}{5}} \right)$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$  và gần $O$ nhất.

$ \Rightarrow z = \dfrac{{ - 9}}{5} - \dfrac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3$