Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 4az + {b^2} + 1 = 0\), (\(a,\,\,b\) là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực \(\left( {a;\,b\,} \right)\)sao cho phương trình đó có hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 4i\)?

Ta có \(\Delta ' = \,4{a^2} - {b^2} - 1\)

+ Nếu \(\Delta ' \ge 0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \({z_1},\,{z_2}\). Khi đó \({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3\\{z_2} = 2\end{array} \right.\)

Theo định lý Vi-ét, ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - 4a\\{z_1}{z_2} = {b^2} + 1\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a = 5\\{b^2} + 1 = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{5}{4}\\b =  \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\)(Thỏa mãn \(\Delta ' \ge 0\) )

Như vậy trường hợp này có 2 cặp số thực \(\left( {a;\,b\,} \right)\) thỏa mãn.

+ Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \({z_1},\,{z_2}\)

Đặt \({z_1} = x + yi;\,\,x,y \in \mathbb{R}\) thì \({z_2} = x - yi;\,\,\)

Khi đó \({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 4i\) \( \Leftrightarrow x + yi + 2i(x - yi) = 3 + 4i\) \( \Leftrightarrow x + 2y + (2x + y)i = 3 + 4i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 4\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{3}\\y = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{3}i\\{z_2} = \dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3}i\end{array} \right.\)

Theo định lý Vi-ét, ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - 4a\\{z_1}{z_2} = {b^2} + 1\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a = \dfrac{{10}}{3}\\{b^2} + 1 = \dfrac{{29}}{9}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{5}{6}\\b =  \pm \dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}\end{array} \right.\)(Thỏa mãn \(\Delta ' < 0\) )

Như vậy trường hợp này có 2 cặp số thực \(\left( {a;\,b\,} \right)\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 4 cặp số thực \(\left( {a;\,b\,} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.