Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} }} = 1 + \sqrt {3 + 2{\rm{x}} - {x^2}} $ là:
Trả lời bởi giáo viên
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$
Đặt: $\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = t(t > 0)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 1 + 3 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = {t^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2}\end{array}$
Khi đó, phương trình trở thành: $\dfrac{2}{t} = 1 + \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{t} = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^3} - 2t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\end{array}$
+) Với $t = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$
Tổng bình phương các nghiệm là $10$ .
Hướng dẫn giải:
+ Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right.$
+ Đặt: $\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = t\,\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} $ theo $t$