Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(2m + 1){\rm{x}} + y = 2m - 2\\{m^2}x - y = {m^2} - 3m\end{array} \right.$. Với $m ≠ -1$ và $m\in Z.$ Có bao nhiêu giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm nguyên?

Ta có:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + 1}&1\\{{m^2}}&{ - 1}\end{array}} \right| =  - 2m - 1 - {m^2} =  - {\left( {m + 1} \right)^2}\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 2}&1\\{{m^2} - 3m}&{ - 1}\end{array}} \right| =  - 2m + 2 - {m^2} + 3m =  - {m^2} + m + 2 = \left( {m + 1} \right)\left( {2 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + 1}&{2m - 2}\\{{m^2}}&{{m^2} - 3m}\end{array}} \right| = \left( {2m + 1} \right)\left( {{m^2} - 3m} \right) - {m^2}\left( {2m - 2} \right) =  - 3{m^2} - 3m =  - 3m\left( {m + 1} \right)\end{array}$

Nếu $m ≠ -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{3m}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{3}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Để $x, y \in Z$  suy ra $\dfrac{3}{{m + 1}} \in Z$ $ m + 1 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

+) Với $m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0 $ (thoả mãn)

+) Với $m + 1 = -1 \Rightarrow m = -2$ (thoả mãn)

+) Với $m + 1 = 3 \Rightarrow m = 2$ (thoả mãn)

+) Với $m + 1 = - 3 \Rightarrow m = -4$ (thoả mãn)

Vậy có $4$ giá trị của $m$ thoả mãn đề bài.