Tính tổng \(S = \dfrac{1}{{2018}}{\left( {C_{2018}^1} \right)^2} + \dfrac{2}{{2017}}{\left( {C_{2018}^2} \right)^2} + ... + \dfrac{{2017}}{2}{\left( {C_{2018}^{2017}} \right)^2} + \dfrac{{2018}}{1}{\left( {C_{2018}^{2018}} \right)^2}\)

Ta có $C_n^k = \dfrac{{n - k + 1}}{k}.C_n^{k - 1}$ với \(\forall k \in \mathbb{N}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge k\) nên:

\(S = \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^1.C_{2018}^1 + \dfrac{2}{{2017}}C_{2018}^2.C_{2018}^2 + ...\) \( + \dfrac{{2017}}{2}C_{2018}^{2017}.C_{2018}^{2017} + \dfrac{{2018}}{1}C_{2018}^{2018}.C_{2018}^{2018}\)

\(S = \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^1.\dfrac{{2018}}{1}C_{2018}^0 + \dfrac{2}{{2017}}C_{2018}^2.\dfrac{{2017}}{2}C_{2018}^1\)\( + ... + \dfrac{{2017}}{2}C_{2018}^{2017}.\dfrac{2}{{2017}}C_{2018}^{2016} + \dfrac{{2018}}{1}C_{2018}^{2018}.\dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017}\)

\( = C_{2018}^1.C_{2018}^0 + C_{2018}^2.C_{2018}^1 + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^{2016} + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^{2017}\).

Mà \(C_{2018}^k = C_{2018}^{2018 - k}\) suy ra

\(S = C_{2018}^1.C_{2018}^{2018} + C_{2018}^2.C_{2018}^{2017} + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^2 + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^1\).

Mặt khác ta có:

\({\left( {1 + x} \right)^{2018}} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {C_{2018}^k{x^k}} \)

\( \Rightarrow {\left( {1 + x} \right)^{2018}}.{\left( {1 + x} \right)^{2018}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {C_{2018}^k{x^k}} .\sum\limits_{l = 0}^{2018} {C_{2018}^l{x^l}} \) \( = \sum\limits_{k,l = 0}^{2018} {C_{2018}^k.C_{2018}^l.{x^{k + l}}} \) \(\left( 1 \right)\).

Suy ra hệ số của số hạng chứa \({x^{2019}}\) trong khai triển của \(\left( 1 \right)\) là

\(S = C_{2018}^1.C_{2018}^{2018} + C_{2018}^2.C_{2018}^{2017} + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^2 + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^1\).

Lại do \({\left( {1 + x} \right)^{2018}}.{\left( {1 + x} \right)^{2018}} = {\left( {1 + x} \right)^{4036}}\);

\({\left( {1 + x} \right)^{4036}} = \sum\limits_{n = 0}^{4036} {C_{4036}^n{x^n}} \)\(\left( 2 \right)\)

Suy ra hệ số của số hạng chứa \({x^{2019}}\) trong khai triển của \(\left( 2 \right)\) là \(C_{4036}^{2019}\).

Vậy \(S = C_{2018}^1.C_{2018}^{2018} + C_{2018}^2.C_{2018}^{2017} + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^2 + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^1 = C_{4036}^{2019}\)

So sánh với các đáp án bằng máy tính bỏ túi ta được \(S = \dfrac{{2018}}{{2019}}C_{4036}^{2018}\)