Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{100}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$.
Trả lời bởi giáo viên
Cách 1: Ta có:
$\dfrac{{C_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{\left( {n - k} \right)!\left( {k + 2} \right)!\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{C_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$
Suy ra: $\sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} } $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + C_{n + 2}^4 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$$\left( * \right)$
Ta xét khai triển sau: ${\left( {1 + x} \right)^{n + 2}} = C_{n + 2}^0 + x.C_{n + 2}^1 + {x^2}.C_{n + 2}^2 + {x^3}.C_{n + 2}^3 + ... + {x^{n + 2}}.C_{n + 2}^{n + 2}$
Chọn $x = 1 \Rightarrow {2^{n + 2}} = C_{n + 2}^0 + C_{n + 2}^1 + C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}$
Do đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{100}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{n + 2}} - C_{n + 2}^0 - C_{n + 2}^1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Leftrightarrow {2^{100}} = {2^{n + 2}} \Leftrightarrow n = 98$
Hướng dẫn giải:
Biến đổi tổng đã cho với chú ý $\dfrac{{C_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{C_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$