Xét một bảng ô vuông gồm \(4 \times 4\) ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số \(1\) hoặc \( - 1\) sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng \(0\). Hỏi có bao nhiêu cách?

Nhận xét 1: Trên mỗi hàng có \(2\) số \(1\) và \(2\) số \( - 1\), mỗi cột có \(2\) số \(1\) và \(2\) số \( - 1\)

Nhận xét 2: Để tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột bằng $0$ đồng thời có không quá hai số bằng nhau và ba hàng đầu tiên đã được xếp số thì ta chỉ có một cách xếp hàng thứ tư.

Do vậy ta tìm số cách xếp ba hàng đầu tiên. Phương pháp giải bài này là xếp theo hàng. (Hình vẽ). Các hàng được đánh số như sau:

Nếu xếp tự do thì mỗi hàng đều có $\dfrac{{4!}}{{2!.2!}} = 6$ cách điền số mà tổng các số bằng 0, đó là các cách xếp như sau (Ta gọi là các bộ số từ $\left( 1 \right)$ đến $\left( 6 \right)$):

$11 - 1 - 1$$\left( 1 \right)$,$1 - 1 - 11$$\left( 2 \right)$,$ - 1 - 111$$\left( 3 \right)$,$ - 11 - 11$$\left( 4 \right)$,$1 - 11 - 1$$\left( 5 \right)$,$ - 111 - 1$$\left( 6 \right)$

Giả sử hàng \(1\) được xếp như bộ $\left( 1 \right)$. Số cách xếp hàng \(2\) có các khả năng sau

KN1: Hàng \(2\) xếp giống hàng 1: Có \(1\) cách xếp ( bộ $\left( 1 \right)$).

Hàng \(3\) có \(1\) cách ( bộ $\left( 3 \right)$). Hàng \(4\) có \(1\) cách. Vậy có \(1.1.1.1 = 1\) cách xếp.

KN2: Hàng \(2\) xếp đối xứng với hàng 1: Có \(1\) cách xếp (bộ $\left( 3 \right)$)

Hàng \(3\) có \(6\) cách ( lấy thoải mái từ các bộ vì tổng hai hàng trên đã bằng $0$). Hàng \(4\) có \(1\) cách. Vậy có \(1.1.6.1 = 6\) cách xếp.

KN3: Hàng \(2\) xếp trùng với cách xếp hàng \(1\) ở \(2\) vị trí: Có \(4\) cách xếp ($4$ bộ còn lại)

Khi đó, với mỗi cách xếp hàng thứ \(2\) thì:

+) hàng \(3\) có \(2\) cách

+) hàng \(4\) có \(1\) cách.

Vậy có \(4.2.1 = 8\) cách xếp.

Vì vai trò các bộ số như nhau nên số cách xếp thỏa mãn ycbt là \(6.\left( {1 + 6 + 8} \right) = 90\) cách.