Tìm vị trí điểm $C$ và $D$ để hình thang $ABDC$ có chu vi bằng $14,$  biết $AB = 4{\rm{ }}cm.$

Gọi \(I\) là trung điểm của $CD$

Suy ra $I$ là tâm của đường tròn đường kính  $CD$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$

Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang

\( \Rightarrow \,IO\) là đường trung bình của hình thang $ABDC$

\( \Rightarrow IO//AC//BD\) mà $AC\; \bot AB{\rm{ }} \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$

$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$

Suy ra tam giác \(COD\) vuông tại \(O.\)

${C_{ABDC}} = 14 \Leftrightarrow AB + 2CD = 14 \Rightarrow CD = \dfrac{{14 - AB}}{2} = \dfrac{{14 - 4}}{2} = 5cm$

Lại có: $CD = CM + DM = AC + BD \Rightarrow AC = CD-BD = 5-BD$

Mà tam giác \(COD\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $COD$ ta có:

$O{M^2} = {\rm{ }}CM.DM \Leftrightarrow {2^2} = AC.BD \Leftrightarrow AC.BD = 4 \Leftrightarrow \left( {5 - BD} \right).BD = 4$

\( \Leftrightarrow 5BD--B{D^2} = 4 \Leftrightarrow B{D^2}--5BD + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow B{D^2}-BD-4BD + 4 = 0 \Leftrightarrow BD\left( {BD-1} \right)-4\left( {BD-1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {BD - 1} \right)\left( {BD - 4} \right) = 4\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}BD - 1 = 0\\BD - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}BD = 1 \Rightarrow AC = 4\\BD = 4 \Rightarrow AC = 1\end{array} \right.$

Vậy với $AC = 4cm;BD = 1cm$ hoặc $AC = 1{\rm{ }}cm;BD = 4cm$ thì chu vi của hình thang $ABDC$ bằng  $14.$