Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị thực của $x$: $\int\limits_0^x {\left( {\dfrac{1}{2}t + 2\left( {a + 1} \right)} \right)dt \ge - 1} $
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
$\int\limits_0^x {\left( {\dfrac{1}{2}t + 2\left( {a + 1} \right)} \right)dt} = \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{4} + 2(a + 1)t} \right)} \right|_0^x = \dfrac{{{x^2}}}{4} + 2(a + 1)x$
Bất phương trình: $\dfrac{{{x^2}}}{4} + 2(a + 1)x \ge - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 8(a + 1)x + 4 \ge 0$ đúng với mọi giá trị thực của $x$ khi và chỉ khi: $64{\left( {a + 1} \right)^2} - 16 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} \le \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le a + 1 \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} \le a \le - \dfrac{1}{2}$
Hướng dẫn giải:
+ Tính tích phân $\int\limits_0^x {\left( {\dfrac{1}{2}t + 2\left( {a + 1} \right)} \right)dt} $
+ Bất phương trình ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c \ge 0$ đúng với mọi giá trị thực của $x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta = {b^2} - 4ac \le 0\end{array} \right.$
