Tìm m để phương trình $3{x^2} + 4\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 4m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt${x_1},{x_2}$ thỏa mãn:$\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$.

Trước hết phương trình phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) khác 0 nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + 4m + 1 > 0\\\dfrac{c}{a} = \dfrac{{{m^2} - 4m + 1}}{3} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 1 > 0\\{m^2} - 4m + 1 \ne 0\end{array} \right.$  (*).

Khi đó theo định lý Viet ta có:$S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{4\left( {1 - m} \right)}}{3};P = {x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2} - 4m + 1}}{3}$

Ta có: $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} - 2} \right) = 0$ (do ${x_1}{x_2} \ne 0$)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1}{x_2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\{m^2} - 4m - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1;m =  - 1;m = 5$

Thay vào (*) ta thấy \(m =  - 1\) không thỏa mãn.

Vậy \(m = 1;m = 5\) là giá trị cần tìm.